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区别系统的“稳定性、鲁棒性、与非脆弱性”

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一日下课,遇见几名学生问我:虫老师,控制系统的稳定性、鲁棒性、与非脆弱性本质上是否一回事呢?好像都是对不确定性的抵御能力,划分的这样细,实在有些费解。虫老师,你能用我们一听就明白的话给我们说一说么?

这个问题是控制系统的三个最为重要的基本概念。其中,稳定性一百多年前就有了十分完善的数学理论了,鲁棒性的概念掐指算来也有三十年的历史了,而非脆弱性还是一个非常新的概念。我接触这些概念的时候正是鲁棒性方兴未艾的时候,一路学习、教学、研究下来,见证了现代控制理论的发展史。这些概念对我而言,解释起来原本并不复杂,只是要用“一听就明白的话”来讲,还是有些颇费琢磨的。无论如何,答应先再说。

翌日,我遇到他们,想起这个问题,于是聊了起来。正说着话,我忽然见到一位非常漂亮可爱的女生与他们在一起,灵机一动,就转身对对着漂亮女生,给出了如下的解释。这个随机的即兴解释,让我很是得意,特地说给大家听听哈。 
(1)稳定性:他是你的男朋友。那么,如果他对周围晃来晃去的其他年轻漂亮女孩子虽然也动了点心,但把持的住,依然很喜欢你,我们说他对你的感情是稳定的。 
(2)鲁棒性:也称为是强壮性、或者稳健性。当他的地位变了,升迁了,发达了,抑或变得与以前大不一样的时候,他依然还是稳定的:依然很喜欢你,且对周边年轻漂亮的女孩子把持的住。我们说他对你的感情就是鲁棒的(Robust)。 
(3)非脆弱性:前面说的都是假定你是坚定的、把感情作为始终不渝的,他的反应。现在,再来一点更厉害的:当你变老了,不再漂亮了,或者遇到不幸的创伤,疾病而变得……,总之情况很糟,或者他发现了你过去可能遭遇到的一段不愉快的历史等等。甚至更极端地,当你自己有点变心、花心、甚至犯了点错误的时候,他若依然是稳定的:依然很喜欢你,且对周边年轻漂亮的女孩子把持的住。我们说他对你的感情就是非脆弱的的。

女生一阵脸红,瞅着她的男友说:他才不会呢。看到漂亮的女生远远地走过,那个眼珠都快掉在地上了。简直就是个倒立摆,一刻不控制都不行。乖乖,倒立着的钟摆啊!这要站直喽是够费劲了哈。真的难为了我们这么漂亮的小女生了。:) 
哈哈,是的:系统无时不刻地受到不确定因素的扰动。

这些扰动通常有两大类:来自系统外部的干扰的影响;以及来自系统内部的未建模部分(不了解其特性的隐秘部分)、结构性突变、及其参数的漂移等不确定性变化的影响。

稳定性就是指系统抵御外部干扰以保持理想工作状态的能力;

而鲁棒性就是系统在内部结构发生扰动的情况下,外部干扰抵御能力的保持能力。或者说是稳定性的强壮性。当一个系统的稳定性和鲁棒性存在一定问题的时候,可以通过附加控制机制来改善这些性质。然而,当控制手段被引入之后,控制手段本身所发生的各种偏差和失误带来的不确定性、也就成为系统的又一干扰因素。如何克服由这一新型干扰引起的偏差,就成了所谓的控制系统(控制器)的非脆弱性问题。

总之,控制就是与各类干扰所引起的偏差做斗争的方法和艺术。呵呵。

鲁棒性就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如说,计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下,能否不死机、不崩溃,就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性”,是指控制系统在一定(结构,大小)的参数摄动下,维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义,可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

详细介绍

溯源和背景

   鲁棒性原是 统计学中的一个专门术语,20世纪70年代初开始在 控制理论的研究中流行起来,用以表征控制系统对特性或参数 摄动的不敏感性。

  在实际问题中,系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面,一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值( 标称值),另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此,鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题,也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统,所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。

原理

  鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性(频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标)和不变性原理(自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论)有着密切的联系, 内模原理(把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度 反馈控制系统的一种设计原理)的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。当系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为 鲁棒控制。早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征,或基于小摄动分析上的灵敏度问题。现代鲁棒控制则着重研究控制系统中非微有界摄动下的分析与设计的理论和方法。

  控制系统的一个鲁棒性是指控制系统在某种类型的 扰动作用下,包括自身模型的扰动下,系统某个性能指标保持不变的能力。对于实际工程系统,人们最关心的问题是一个控制系统当其模型参数发生大幅度变化或其结构发生变化时能否仍保持渐近稳定,这叫稳定鲁棒性。进而还要求在模型扰动下系统的品质指标仍然保持在某个许可范围内,这称为品质鲁棒性。鲁棒性理论目前正致力于研究 多变量系统具有稳定鲁棒性和品质鲁棒性的各种条件。它的进一步发展和应用,将是控制系统最终能否成功应用于实践的关键。

  在数字 水印技术中,鲁棒性是指在经过常规信号处理操作后能够检测出水印的能力;针对图像的常规操作包括空间滤波、有损压缩、打印与复印、几何变形等;

内容

  控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能。鲁棒性是英文robustness一词的音译,也可意译为稳健性。鲁棒性原是统计学中的一个专门术语,70年代初开始在控制理论的研究中流行起来,用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。在实际问题中,系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面,一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值(标称值),另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此,鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题,也是一切类型的控制系统的设计中所必需考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统,所涉及的领域包括 稳定性、无静差性、适应控制等。鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性和不变性原理有着密切的联系,内模原理的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。

结构渐近稳定性

  以渐近稳定为性能指标的一类鲁棒性。如果控制系统在其特性或参数的标称值处是渐近稳定的,并且对标称值的一个邻域内的每一种情况它也是渐近稳定的,则称此系统是结构渐近稳定的。结构渐近稳定的控制系统除了要满足一般 控制系统设计的要求外,还必须满足另外一些附加的条件。这些条件称为结构渐近稳定性条件,可用代数的或几何的语言来表述,但都具有比较复杂的形式。结构渐近稳定性的一个常用的度量是稳定裕量,包括增益裕量和相角裕量,它们分别代表控制系统为渐近稳定的前提下其 频率响应在增益和相角上所留有的储备。一个控制系统的稳定裕量越大,其特性或参数的允许摄动范围一般也越大,因此它的鲁棒性也越好。业已证明,线性二次型(LQ) 最优控制系统具有十分良好的鲁棒性,其相角裕量至少为60°,并确保1/2到∞的增益裕量。

结构无静差性

  以准确地跟踪外部参考输入信号和完全消除扰动的影响为稳态性能指标的一类鲁棒性。如果控制系统在其特性或参数的标称值处是渐近稳定的且可实现无静差控制(又称输出调节,即系统输出对参考输入的稳态跟踪误差等于零),并且对标称值的一个邻域内的每一种情况它也是渐近稳定和可实现无静差控制的,那么称此控制系统是结构无静差的。使系统实现结构无静差的控制器通常称为鲁棒调节器。用方程 N1( D) f( t)=0  N2( D) z0( t)=0

  表示加于受控系统的扰动 f( t)和参考输入 z0( t)的动态模型,式中为微分算子, N1( D)和 N2( D)为 D的多项式。用 k1( s)和 k2( s)( s为复数变量)分别表示 N1( D)和 N2( D)的最小多项式,而用 k( s)表示 k1( s)和 k2( s)的最小公倍式。那么存在鲁棒调节器可使受控系统 T( s) z= U( s) u+ M( s) f

   y= z

  (见 多变量频域方法)实现结构无静差的 充分必要条件是,控制向量 u的维数大于输出向量 y的维数,同时对代数方程 k( s)=0的所有根 si( i=1,2,…, p)矩阵 U( si)为满秩。对于可实现结构无静差的受控系统,一个动态补偿器 P( s) ξ= z0- z

   u= R( s) ξ

  ( ξ为补偿器的状态向量)能构成为它的鲁棒调节器的充分必要条件是,矩阵 P( s)的每一个元都可被 k( s)除尽,同时由受控系统和动态补偿器组成的 闭环控制系统是结构渐近稳定的。在采用其他形式的数学描述时,鲁棒调节器和结构无静差控制系统的这些条件的表述形式也不同。鲁棒调节器在结构上有两部分组成,一部分称为镇定补偿器,另一部分称为伺服补偿器。镇定补偿器的功能是使控制系统实现结构渐近稳定。伺服补偿器中包含有参考输入和扰动信号的一个共同的动力学模型,因此可实现对参考输入和扰动的无静差控制。对于呈阶跃变化的参考输入和扰动信号,它们共同的动力学模型是一个积分器;对于呈斜坡直线变化的参考输入信号和呈阶跃变化的扰动信号,其共同的动力学模型是两个积分器的串接。

  带有状态观测器的系统的鲁棒性 一般而言,在控制系统中引入 状态观测器会使它的鲁棒性变坏,因此应尽可能避免。对于必须采用状态观测器的控制系统,当受控系统为 最小相位系统时,可通过合理地设计观测器而使控制系统保持较好的鲁棒性。其原则是把观测器的一部分极点设计成恰好与所观测系统的零点相对消,而观测器的其他极点在满足抗干扰性要求的前提下应使其尽可能地远离虚轴。

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